サンプルが入ってくるときに線形回帰を計算する必要があるという問題があります。指数関数的に重み付けされた移動線形回帰を取得するために使用できる式はありますか？それがあなたがそれを呼ぶものであるかどうかはわかりません。
もちろん、 weights = 引数を lm（）に追加するだけです（ Rの場合）：
R> x <- 1：10 ##これの平均は5.5R>lm（x〜1）##定数計算の回帰meanCall：lm（formula = x〜1）係数:(切片）5.5 R> lm（x 〜1、weights = 0.9 ^（seq（10,1、by = -1）））Call：lm（formula = x〜1、weights = 0.9 ^（seq（10、1、by = -1）））係数:(インターセプト）6.35 R> ここでは、「より最近の」（すなわち、より高い）値の重みが大きくなり、平均が5.5から6.35にシフトします。重要なのは、もしあれば、私がその場で計算する$ \ lambda ^ \ tau $指数重みです。重み係数を任意の値に変更できます。データの順序に応じて、指数を逆に実行することもできます。
使用している回帰モデルを使用して、同じことを行うことができます。 。
やりたいことのように聞こえるのは2段階モデルです。最初に、指定された平滑化係数を使用してデータを指数平滑化された形式に変換し、次に変換されたデータを線形回帰式に入力します。
$$ y = \ alpha_n + \ beta_n x $$
$ n $のデータが入った後、次の形式の方程式を探している場合は、指数係数$ k \ ge 1 $を使用している場合は、
$$ \ beta_n = \ frac {\ left（\ sum_ {i = 1} ^ nk ^ i \ right）\を使用できます。 left（\ sum_ {i = 1} ^ nk ^ i X_i Y_i \ right）-\ left（\ sum_ {i = 1} ^ nk ^ i X_i \ right）\ left（\ sum_ {i = 1} ^ nk ^ i Y_i \ right）} {\ left（\ sum_ {i = 1} ^ nk ^ i \ right）\ left（\ sum_ {i = 1} ^ nk ^ i X_i ^ 2 \ right）-\ left（\ sum_ {i = 1} ^ nk ^ i X_i \ right）^ 2} $$
および
$$ \ alpha_n = \ frac {\ left（\ sum_ {i = 1 } ^ nk ^ i Y_i \ right）-\ beta_n \ left（\ sum_ {i = 1} ^ nk ^ i X_i \ right）} {\ sum_ {i = 1} ^ nk ^ i}。$$
丸めや速度が問題になる場合は、他の形式で再キャストできます。 $ k>1 $の場合、$ \ sum_ {i = 1} ^ n k ^ i = \ frac {k（k ^ n-1）} {k-1} $があることも知っておく価値があります。
はい、できます。あなたが探している方法は、指数加重最小二乗法と呼ばれています。これは、再帰的最小二乗法のバリエーションです。\ begin {align} Θ̂（k + 1）& = Θ̂（k）+ K [z（k + 1）-x ^ T（k + 1）Θ̂ （k）] \\ K（k + 1）& = D（k）x（k + 1）[λ+ x ^ T（k + 1）D（k）x（k + 1）] ^（-1 ）\\ D（k + 1）& = \frac1λ\ bigg（D（k）-D（k）x（k + 1）\ bigg [λ+ x ^ T（k + 1）D（k） x（k + 1）\ bigg] ^ {-1} x ^ T（k + 1）D（k）\ bigg）\ end {align} $0.9<λ<1$通常。
これは開発された方法です。時間とともに変化するパラメータを考慮しますが、それでも線形形式です。これはコスト関数から得られます：$$ J（Θ）= 1 / 2∑_（i = km）^k▒〖λ^（ki）[z（i）-x ^ T（i）Θ]〗^ 2 $$
通常の最小二乗法は、比較のために以下から計算されます。
コスト関数は次のとおりです。$$ J（Θ）= 1/2 ∑_（i = i）^ k▒[z（i）-x ^ T（i）Θ] ^ 2 $$ with \ begin {align}Θ（k）& = D（k）X_k ^ T Z_k \\ Cov [Θ̂（k）] & =σ^ 2D（k）\\ D（k）& = [X_k ^ T X_k] ^ {-1} \ end {align}
伝達関数モデルy（t）= W（B）* X（t）+ [THETA（B）/ PHI（B）] * a（t）を作成する場合、演算子[THETA（B）/ PHI （B）]は「スムージングコンポーネント」です。たとえば、PHI（B）= 1.0およびTHETA（B）= 1-.5Bの場合、これは.5、.25、.125、...の重みのセットを意味します。このようにして、「加重移動線形回帰」の形式を想定するのではなく、最適化するための答えを提供できます。
これと指数加重移動線形回帰との実際の関係はわかりませんが、指数加重勾配とオフセットを推定するための単純なオンライン式は、 Holt-Winters二重指数平滑化と呼ばれます。。ウィキペディアのページから：
時系列$ x_0 ... x_t $が与えられ、平滑化パラメーター$ \ alpha \ in（0,1]、\ beta \ in（0、1] $、初期化：
\ begin {align} s_1 & = x_1 \\ b_1 & = x_1-x_0 \ end {align}
そして$ t>1 $の場合： \ begin {align} s_t & =（1- \ alpha）（s_ {t-1} + b_ {t-1}）+ \ alpha x_t \\ b_t & =（1- \ beta）b_ {t-1} + \ beta（s_t-s_ {t-1}） \ end {align}
ここで、$ b_t $は推定勾配であり、$ s_t $は時間tでの推定y切片です。
統計的に傾いている人は、これが指数関数的に重み付けされた移動線形回帰の解にどれだけ近いかについてコメントできるかもしれません。