質問:
大数の法則-冗長?
user18496
2013-01-09 19:16:35 UTC
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基本的なものが欠けているかもしれませんが、大数の法則が弱い法則をカバーしているようです。その場合、なぜ弱い法則が必要なのですか?

強い法則は確かに弱い法則を意味しますが、弱い法則は証明するのが簡単です。ここを参照してください:http://terrytao.wordpress.com/2008/06/18/the-strong-law-of-large-numbers/
hっtp://まth。sたcけxちゃんげ。こm/くえsちおんs/13421/あっpぃかちおんーおfーstろんgーvsーうぇあkーぁwーおfーぁrげーぬmべrs
https://stats.stackexchange.com/questions/72859/is-there-a-statistical-application-that-requires-strong-consistency/74338#74338
二 答え:
Chill2Macht
2017-06-30 21:52:59 UTC
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大数の法則の最も一般的なケース は、最初の瞬間の存在さえ必要としません 。したがって、 より一般的な の条件/仮定の下では、大数の法則(最初の瞬間の存在)に必要な条件/仮定よりも成り立ちます。

Durrett、確率:理論と例(第4版)からの関連する結果を引用させてください。そうすれば、上記のステートメントの真実を自分で確認できます。

(p.60)定理2.2.7大数の法則 $ X_1、X_2、\ dots $をi.i.dとします。 $ $$ x \ mathbb {P}(| X_i | >x)\ to 0 \ quad as \ quad x \ to \ infty \ quad(for \、all \、i = 1,2、\ dots)$$ Let $ S_n = X_1 + \ dots + X_n $および$ \ mu_n = \ mathbb {E} [X_1 1 _ {| X_1 \ ge n |}] $。次に、$ S_n / n- \ mu_n \ to 0 $の確率で。

確率変数のシーケンス内の各$ X_i $について、$ x \ to \ infty $として$ x \ mathbb {P}(| X_i | > x)\ to 0 $が であるという条件最初の瞬間の存在よりも厳密に弱い -つまり、iidが存在しますこの条件を満たすが、 には有限の最初のモーメントがない の確率変数のシーケンス。例については、上記の前の回答を参照してください。

(p.73)Theorem2.4.1。大数の法則 $ X_1、X_2、\ dots $を、$ \ mathbb {E} | X_i |でペアごとに独立した同一分布確率変数とします。 < \ infty $(すべての$ i = 1、2、\ dots $に対して)。 $ \ mathbb {E} X_i = \ mu $および$ S_n = X_1 + \ dots + X_n $とします。次に、$ S_n / n \ to \ mu $はほぼ確実に$ n \ to \ infty $になります。

定理2.4.5。 p.75は、最初のモーメントが存在するが有限ではない場合の強力な法則です。

両方の結果(大数の法則と大数の法則)は、確率変数が有限分散(2次モーメント)を持っていると仮定した場合に証明するのがはるかに簡単ですが、そのような仮定は 不要両方の結果に

したがって、結論として、大数の法則は 冗長ではありません。なぜなら、その結論は大数の法則よりも弱いものの、「より頻繁に」真実であるためです。(つまり、より一般的な条件下で)大数の法則よりも。したがって、強い法則が 成立しない場合でも、弱い法則が成立する可能性があります。

弱い法則についてあなたが述べる条件が必要であることはわかっていますが、RVがペアワイズiidであり、強い法則に必要な平均が存在する条件です(「確率で」thm2.2.7の結論の意味で)「ほぼ確実に」に置き換えられました)?
いいえ、ペアワイズiidはそうではありません。他の条件に置き換えることができます(たとえば、分散が異なる独立変量のKolmogorov基準(したがってiidではない):$ \ sum \ sigma_k ^ 2 / k ^ 2 $収束)。相関変量の条件もあります。また、平均値は必要ありません:http://www.ams.org/journals/tran/1973-185-00/S0002-9947-1973-0336806-5/S0002-9947-1973-0336806-5.pdf、しかし、繰り返しますが、他の条件が保持される必要があります。
@Benコーシー分布には平均が存在せず、SLLN(またはWLLN)がコーシー分布に当てはまるため、平均が存在する必要があります。組ごとに独立についてはわかりません。Durrettで与えられた証明は、Etemadi(1981)によるものです。1997年、エテマディは、1981年の論文で、$ \ mathbb {E}(| X_i |)<\ infty $が必要かつ十分である場合にのみ、SLLNが成立することが示されたと主張する論文を発表しました。http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S016771529600123X Durrettの「SLLN」は、存在するが有限ではないという意味で、SLLNと同じ結論ではないことに注意してください。
上記のWLLNのバージョンは、FellerWLLNまたはKolmogorov-FellerWLLNと呼ばれます。https://www2.stat.duke.edu/courses/Fall09/sta205/lec/lln.pdfまたはhttps:// linkを参照してください。.springer.com / article / 10.1023 / B:JOTP.0000040299.15416.0c Kolmogorov-Feller WLLNの条件は十分であるだけでなく、_必要_です。参照:http://www.stat.umn.edu/geyer/8112/notes/weaklaw.pdf平均が存在する場合に、無限大への確率の収束(つまり、WLLN)について、より弱い仮定が可能かどうかはわかりませんが、無限です。
Feller WLLNの条件は、$ \ mathbb {E} | X_1 | ^ {1- \ epsilon} <\ infty $ for some $ \ epsilon> 0 $を意味しますが、平均が存在する可能性があるかどうかはわかりませんそして、すべての$ \ epsilon> 0 $に対して$ \ mathbb {E} | X_1 | ^ {1- \ epsilon} \ not <\ infty $で無限大になります。したがって、おそらく、SLLNの_無限平均バージョン_は、FellerWLLNが保持しない場合に当てはまる可能性があります。知りません;少なくとも一般的には、SLLNについて話すときに無限平均のケースを念頭に置いておらず、SLLNの有限平均バージョンはFellerWLLNよりも一般的ではない仮定の下で成り立ちます。
結局のところ、SLLNがたくさんあるということです。私は@Chill2Machtに同意しますが、一般的に、未定義/無限の平均の場合には考えられません。
定理2.2.7の場合、$ \ mu_n = \ mathbb {E} [X_1 1 _ {| X_1 \ ge n |}] $のインジケーター関数は本当に正しい不等式を持っていますか?奇妙に見えます...
Blain Waan
2013-01-31 01:51:21 UTC
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大数の「強い」法則と「弱い」法則の数学的定式化は、いくぶん似ています。しかし、2つの法則は本質的にまったく異なります。

弱い法則は、確率変数の実現の無限のシーケンスを考慮しません。長いシーケンスを考慮すると、不均衡なシーケンスが発生する可能性が低くなるとだけ述べられています。

一方、強法則は、確率変数の実現の無限のシーケンス、より正確には、これらの無限のシーケンス。不均衡なシーケンスのセットは、「メジャー0のセット」の概念を一般化する意味で確率0を持っていると述べています。

強零は弱い法を意味することを示すことができます。したがって、強い法則の結果と見なされます。

ただし、その逆は間違っています。弱い法則に従ってrvのシーケンスを表示することは可能ですが、強い法則を表示することはできません。したがって、「弱い」および「強い」という用語は確かに正当化されます。たとえば、シーケンスをi.i.dとします。密度あり

$ f_X(x)= x ^ {-2} I(x>1)$

ボレル・カンテリ補題のため、WLLNは取得できますが、SLLNは取得できません。 。

投稿の最後の2文であなたが言おうとしていることを明確にしていただけますか(*たとえば... *)?
$ I(x> 1)$は、イベント$ x> 1 $のインジケーター関数であると思います。つまり、$ x \ le 1 $と$ 1 \ ge 1 $の場合は$ 0 $です。したがって、関数$ f_X(x)= x ^ {-2} I(x> 1)$は、$ x \ le 1 $の場合は$ 0 $に等しく、$ x \ ge 1 $の場合は$ x ^ {-2} $に等しくなります。シーケンス内のすべての変数は互いに独立しており、確率密度関数として関数$ f_X $を持つように分散されます。次に、ボレル・カンテリ補題のため、このシーケンスはWLLNの結論を満たしますが、SLLNの結論を満たしません。


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