ある意味で、MGFは、関数を使用していくつかの便利なことを実行できるように、一連のモーメントを便利な関数にエンコードする方法にすぎません。

変数 $ t $ span>は、確率変数 $ X $ span>とはまったく関係ありません。 $ M_X（s）$ span>または $ M_X（u）$ span>と簡単に書くことができます...それつまり、本質的には一種のダミー変数です。これは、mgfの引数であること以外には何の意味もありません。

ハーバートウィルフ[1]は、母関数を呼び出します。

私たちが電話を切る物干しロープ表示する番号のシーケンス

どの物干しに掛けてもかまいません。別の方法でも同様です。

どこからでも関数を導出する方法はありますか？

モーメントのセットを生成関数に変換する方法は複数あります（たとえば、離散分布には、確率生成関数、モーメント生成関数、累積生成関数、および特性関数があります）。そして、それらのいずれかからモーメントを（場合によっては他よりも直接的に）回復することができます。

したがって、モーメントのセットを関数にエンコードする独自の方法はありません。方法については選択の問題です。それらは似ていますが（そして当然のことながら関連しています）、特定の種類のタスクに便利なものもあります。

mgfとLaplace変換とcfの間に特定の類似点があります。およびフーリエ変換。

単なるアナロジーではありません。少なくとも、両側ラプラス変換（ $ \ mathcal {L} $ ここ）。 $ M_X（t）= \ mathcal {L} _X（-t）$ span>は（少なくとも符号の変更まで）実際にはラプラス変換であることがわかります（実際、 $ \ mathcal {L} _X（-t）= \ mathcal {L} _ {-X}（t）$ span>を検討してください。これは、の両側ラプラス変換です。反転した変量）。あるものから別のものに簡単に変換でき、mgfsでのラプラス変換の結果を非常にうまく使用できます（さらに言えば、その符号の問題を念頭に置いておくと、ラプラス変換のテーブル）。同様に、特性関数は単にフーリエ変換に類似しているだけでなく、 フーリエ変換です（ここでも、引数の符号を交換しても、引数の符号を入れ替えても重要ではない引数の符号まで）関数）。

フーリエ変換とラプラス変換がmgfsとcfsが「何であるか」についての直感を与えるのに役立つ場合は、確かにそれらの直感を活用する必要がありますが、一方で、いつでも直感を持っている必要はありません。これらのものを操作します。

実際、cfsで遊ぶとき、それらは常に存在し、一意であるため、別のレンズを通して見た分布として考える傾向があります。

関数の導関数を取り、t = 0で評価すると、モーメントが得られることがわかります（積分が絶対収束している場合）が、なぜですか？

使用することを選択した特定の生成関数（mgf）は、そのように機能するように設定されているためです。関数からモーメントのセットを再び抽出できるようにするには、そのようなものが必要です-すべての低いもの（微分など）を削除し、すべての高いもの（引数を0に設定するなど）を削除する方法必要なものを正確に選択できるようにします。そのためには、mgfのように機能するものがすでに必要です。 同時に、（確率変数で使用するさまざまな母関数のように）利用できる他のプロパティがいくつかあると便利です。そのため、選択肢のセットがさらに制限されます。

[1] Wilf、H。（1994）
generatefunctionology 、2nd ed
Academic Press Inc.、San Diego
https：/ /www.math.upenn.edu/~wilf/DownldGF.html