質問:
XとYがわかっている場合の2X-Yの分布
camnesia
2017-01-16 08:55:49 UTC
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質問がありました:

  X〜N(3、2²)およびY〜N(1、2²)の場合、2X-Yの分布はどうなりますか? 

答えはN(5,20)として与えられます

5の値は= 2x-y =(3 x 2)-1だと思いますが、20はどこに来るのでしょうかから?私は統計に非常に慣れていないので、助けていただければ幸いです。

$ X $と$ Y $は独立していると言われていますか?それが想定されています。これらの分散のプロパティhttps://en.wikipedia.org/wiki/Variance#Propertiesを知っていますか?それらを学び、それらを使用してください。
質問以外の情報は提供されていません
次に、質問を提供した人(本、教師)は誰でも不十分であり、暗黙のうちに仮定を立てるように「教える」ことによって生徒に不正を行います。これは多くの現実世界の問題では真実ではなく、現実世界の答えに大きく影響します。
それが答えに多大な影響を与える状況で、人々が完全に不当な独立の仮定をするのを私がどれほど頻繁に見るか知っていますか?現実の世界にはたくさんのことがあります。
ありがたいことに、私はインターネットの素晴らしい心を持っており、実際に統計について教えてくれます。
XとYが独立していて正常である場合、Var(2X-Y)= 4Var(X)+ Var(Y)であり、Var(X)= Var(Y)= 4であるため、答えは4x4 + 4 = 20です。ただし、Mark Stoneが指摘しているように、XとYが相関している場合(この場合、負の相関がある場合、Cov(X、Y)は負になるため、Z = 2X-Yの分散は20未満になります。XとYが独立しているかどうか。したがって、E(2X-Y)= 2E(X)-E(Y)= 2x3-5。
これには `[自習]`タグとOPがこれまでに理解していることがあります。質問は独立の無言の仮定をしますが、それは私には不明確に思われません。これを閉じる必要はないと思います。
二 答え:
giusti
2017-01-16 09:12:35 UTC
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2つの変数$ X $と$ Y $の場合、$ aX-bY $の分散は次のようになります。

$$ Var(aX-bY)= a ^ 2Var(X)+ b ^ 2Var(Y)-2ab・Cov(X、Y)$$

ここで、$ Cov(X、Y)$は$ X $と$ Y $の間の共分散です。(ソース

通常、問題の説明では、変数$ X $と$ Y $が依存しているか独立しているかを示す必要があります。これは明らかにそうではないので、私は推測をして独立性を主張しています。これは、予想される問題の答えと一致するためです。まず、2つの独立した正規確率変数の線形結合は正規確率変数です。次に、2つの独立変数間の共分散はゼロです。

つまり:

$$ \ begin {align} Var(2X-Y)& = 2 ^ 2Var(X)+1^ 2Var(Y)-2ab・Cov(X、Y)\\ & = 4・Var(X)+ Var(Y)-0 \\ & = 4・4 + 4 \\ & = 20 \ end {align}$$

@giusti答えも正規確率変数であることに注意し、2つの正規確率変数の線形結合自体が正規確率変数である理由を説明することも賢明だと思います。
いい視点ね。自由に編集して回答に追加してください。
Ed P
2017-01-16 09:22:03 UTC
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ここで必要ないくつかの重要な結果があります。提供された回答に基づいて、質問の仮定は $ X $ span>と $ Y $ span>であったと思います。は独立した確率変数です。

重要な結果を証明することから始めましょう

$$ X \ sim N(\ mu、\ sigma ^ {2})\ Leftrightarrow aX \ sim N(a \ mu、a ^ {2} \ sigma ^ {2})$$ span>

これはさまざまな方法で実行できますが、正規分布のモーメント母関数を使用します。

$$ M_ {X}(t)= \ mathbb {E} [e ^ {tX}] = e ^ {\ mu t + \ tfrac { 1} {2} \ sigma ^ {2} t ^ {2}} $$ span>および $$ X \ sim N(\ mu、\ sigma ^ {2} )$$ span>

つまり、

$$ M_ {aX}(t)= \ mathbb {E} [e ^ {atX}] = e ^ {a \ mu t + \ tfrac {1} {2} a ^ {2} \ sigma ^ {2} t ^ {2}} $$ span>および $$ aX \ sim N(a \ mu、a ^ {2} \ sigma ^ {2})$$ span>

もう1つの重要な結果は、2つの独立した合計です。通常のランダム変数。

$$ X \ sim N(\ mu_ {x}、\ sigma ^ {2} _ {x})$$ span>および $$ Y \ sim N(\ mu_ {y}、\ sigma ^ {2} _ {y})$$ span>次に、 $$ X + Y \ sim N(\ mu_ {x} + \ mu_ {y}、\ sigma_ {x} ^ {2} + \ sigma_ {y} ^ {2})$$ span >

もう一度、モーメント生成関数を使用してこれを証明できます:

$$ \ begin {align} M_ {X + Y} (t)& = \ mathbb {E} [e ^ {X + Y}] \\ & \ overset {*} {=} \ mathbb {E} [e ^ {X}] \ mathbb {E} [e ^ {Y}] \\ & = e ^ {\ mu_ {x} t + \ tfrac {1} {2} \ sigma_ {x} ^ {2} t ^ {2}} e ^ {\ mu_ {y} t + \ tfrac {1} {2} \ sigma_ {y} ^ {2} t ^ {2}} \\ & = e ^ {(\ mu_ {x} + \ mu_ {y})t + \ tfrac {1} {2}(\ sigma_ {x} ^ {2} + \ sigma_ {y} ^ {2})t ^ { 2}} \ end {align} $$ span>

つまり、 $$ X + Y \ sim N(\ mu_ {x} + \ mu_ { y}、\ sigma_ {x} ^ {2} + \ sigma_ {y} ^ {2})$$ span>

$ ^ {* } $ span> $ X $ span>と $ Y $ span>が独立しているため。

以下に示すように、回答に(減算)を含めてください。 -〜(+、2 + 2
@Hacklavya $ X-Y = X +(-Y)= X + aY $ここで、$ a = -1 $は、すべて上記で説明されています。


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