$$ \ begin {align} P（A \ mid A \ cup B）& = \ frac {P（A）} {P（A \ cup B）} \\ & \ geq P（A）。\ end {align} $$

私は主にバークソンのパラドックスとしてそれを聞いたことがあります。これは、曝露と結果を比較し、曝露または結果のいずれかを持つ個人のみをサンプリングする場合の、偽の関連の生成を指します。人口レベルの関連付けが次のようになっているとします。

$$ \ begin {array} {c | ccc} & D & \ bar {D} & \\ \ hline E & n_ {11} & n_ {12} & n_ {1。} \\\ bar {E} & n_ {21} & n_ {22} & n_ {2。} \\ & n _ {。1} & n _ {。2} & \\\ end {array } $$

次に、疾患の相対リスクは次の式で与えられます。

$$ RR = \ frac {n_ {11} / n_ {1。}} {n_ {21} / n_ {2。}} $$

ただし、サンプルでは次のようになります。

$$ \ begin {array} {c | ccc} & D & \ bar {D} & \\ \ hlineE & n_ {11} & n_ {12} & n_ {1。} \\\ bar {E} & n_ {21} & 0 & n_ {2。}-n {22} \ & n _ {。1} & n _ {。2} -n {22} & \\\ end {array} $$

セル数とマージンは、WLOGの上の「人口」に比例します。

推定相対リスクは次のようになります。

$$ RR_ {Berkson} = \ frac {n_ {11} / n_ {1。}} {n_ {21} /（n_{2。}-n_{22}）} $$

$ n_ {22} = 0 $の場合を除いてバイアスがかかります。

生物統計学的ではない方法で、$ P（A \ cup B）\ neq 1 $、次に$ P（ A | A \ cup B）= \ frac {P（A \ cap A \ cup B）} {P（A \ cup B）} = \ frac {P（A）} {P（A \ cup B）} $そして'仮定によって行われます。

はい、確かに$ P（A | A \ cup B）\ ge P（A）$です。

これは、2つのことを考えるのに役立ちます。分数としての量。次に、これら2つの事実からすべてがわかります。

• 両方の確率の分子は、母集団に存在する$ A $の数で構成されます。これは、無条件確率$ P（A）$の場合は簡単であり、条件付き確率$ P（A | A \ cup B）$で条件の両側に$ A $が表示されることで保証されます。言い換えると、構造上、条件付きの「制限」は$ A $ sを破棄できません。

• $ P（A）$の分母は次の合計です。母集団内の$ A $ sの数、それに含まれる$ B $ sの数、さらに$ C $ s、$ D $ sの数、およびその他の数。ただし、$ P（A | A \ cup B）$の分母は、単に$ A $ sの数に$ B $ sの数を加えたものです。条件は他のすべてを除外します。これらはすべて非負の数であるため、$ P（A）$の分母は、少なくとも$ P（A | A \ cup B）$の分母と同じ大きさである必要があります。

したがって、$$ \ begin {align} P（A）& = \ frac {|| A ||} {|| A || + || \ textrm {その他すべて} ||} \\ P（A | A \ cup B）& = \ frac {|| A ||} {|| A || + || B || -|| A \ cap B ||} \ end {align} $$

分子は同じですが、$ P（A）$の分母が$ P（以上）であるためA | A \ cup B）$の場合、$ P（A | A \ cup B）\ ge P（A）である必要があります。 \ blacksquare $

$ A $と$ B $が無関係であるか、相互に排他的である場合でも当てはまるため、人々はこれをパラドックスと呼んでいます。 $ P（A）$が、$ A $がプロバスケットボールをプレーする確率であり、$ B $が、$ B $がバスケットボールでひどいことを示しているとします。条件がバスケットボールで公平に中途半端な（そしてニックスのためにたまたまプレーしない）人々を除外するので、不平等はまだ保持されます、それで分母はまだ全体の人口より小さいです。

より一般的には、条件付き確率の分母は常に無条件確率の分母以下になることは事実です。