この質問には独自の答えがあります。それ以外のものは近似値にすぎないか、劣った仮説検定に基づいています。 p値は$ 682/969 \約70.4 \％$です。その計算は、$ 20 $の母集団からの置換なしのサンプリングに基づいています。この投稿の残りの部分では、p値の定義といくつかの簡単な組み合わせ計算のみに依存する推論を提供します。
結果の確率モデルはボックスで記述できます。 $ 20 $のチケットで、お一人様1枚。各チケットには、その人がショーに行ったかどうかが書かれています。ランダムサンプルは、これらのチケットのうち8つを箱から取り出したようなものです（それらを置き換えることなく）。
このモデルのまだ不明な統計的特性は、数によって完全に決定されます。このショーに行った人々の。この番号を$ \ theta $と呼びます。 $ \ theta $の可能な値は、0から$ 20 $までの整数です。
あなたのヌル仮説$ H_0 $は、5人以上がショーに参加したというものです：$ \ theta \ ge 5 $。別の方法は、$ \ theta \ lt 5 $です。
この仮説をテストするための唯一の有用な統計は、サンプル内でショーに参加した人々のカウント$ X $です。 （行かなかった人を数えると、明らかに数学的に同等の情報が得られます。）明らかに、$ X $の小さい値は、$ H_0 $に対する証拠であり、大きい値はその証拠です。実際、$ X \ ge 5 $の場合、サンプルの少なくとも5人が参加したため、$ H_0 $が真であることが確実になります。
したがって、p値は、$ X $ が観察した値である$ 2 $以下である可能性がある確率から計算されます。この確率は、次のように計算することで簡単に計算できます。それは3つの相互に排他的な可能性に分けられます：
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$ X = 0 $は、$ 8 $チケットのサンプル全体がボックス内の$ 20- \ theta $非表示チケットからのものであることを意味します。発生する可能性のある$ \ binom {20- \ theta} {8} $の方法があります。
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$ X = 1 $は、サンプルチケットの7つが$ 20- \ theta $の非表示チケットからのものであることを意味します（そのための$ \ binom {20- \ theta} {7} $の方法があります発生する）そして1つは$ \ theta $の見本市チケットから来ました：他の7つのチケットの選択とは関係なく、それが発生するための$ \ binom {\ theta} {1} $の方法があります。したがって、そのようなサンプルの総数は$ \ binom {20- \ theta} {7} \ binom {\ theta} {1} $です。
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類似の議論がそこに示しています$ \ binom {20- \ theta} {6} \ binom {\ theta} {2} $サンプルと$ X = 2 $のショーゴーイングチケットです。
これらの3つの値を合計し、可能な（および等確率の）サンプルの総数$ \ binom {20} {8} $で割って、未知の$ \ theta $に関して$ X \ le 2 $の可能性を取得します。 。 $ \ theta = 5 $に対してこの計算を実行するだけでよいことがわかりましたが、パターンを理解できるように、$ \ theta $の他の値のいくつかの可能性があります。
$ $ \ begin {array} {rr | cccccc} & \ theta & 2 & 3 & 4 & \ color {Red} 5 & \ color {Red} 6 & \ color {Red} \ cdots & \ color {Red} {14 } \\ & \ text {Probability} & 1 & \ frac {271} {285} & \ frac {4103} {4845} & \ color {Red} {\ frac {682} {969}} & \ color {Red } {\ frac {176} {323}} & \ color {Red} \ cdots & \ color {Red} {\ frac {7} {9690}} \\ & \ text {（decimals）} & 1. & 0.951 & 0.847 & \ color {Red} {0.704} & \ color {Red} {0.545} & \ color {Red} \ cdots & \ color {Red} {0.001} \\\ end {array} $$
（すでに2つのショーゴーを観察したので、$ \ theta = 2 $でテーブルを開始しましたサンプルのrs。すでに6人の非ショー参加者を観察し、最大で$ 20-6 = 14 $のショー参加者を残しているため、$ \ theta = 14 $で終了しました。）
$ \ theta $が小さい場合（対立仮説の下にあり、可能性$ \ {0,1,2,3,4 \} $のみで構成されている）、$ X \ le 2 $の可能性は高い。しかし、$ \ theta $が増加すると、チャンスは減少します。 $ \ theta = 5、6、\ ldots、20 $（赤で表）のケースで構成される帰無仮説の中で、最大の可能性は$ \ theta = 5 $のときに発生します。 $ 682/969 \約0.704 $。 これはp値です。
この結論を解釈して、意味があることを確認しましょう。物語は次のようになります。
ボックスに5つ以上の見本市チケットがあるかどうかをテストしたいと思います。私のサンプルの少数の見本市チケットは、それに対する証拠になります。サンプルには2枚の見本市チケットしかありませんでした。実際には、20人のうちちょうど5人がショーに参加したという状況があり、私のサンプルで2つ以下のチケットを観察する可能性は$ 70.4 \％$にもなります。これは非常に高く、私のサンプルが帰無仮説と一致していることを示しています。
この推論のさらなるチェックとして、サンプルのpが低いはずのシナリオを考えてみましょう。 -値。あなたの帰無仮説が、20人の半分以上がショーに行ったというものだったとしましょう。 $ \ theta $の可能な値の対応するセットは、$ H_0 = \ {11、12、\ ldots、20 \} $です。これらの状況のいずれかで$ X \ le 2 $が発生する最大の可能性は、$ \ theta = 11 $であり、$ 4 \％$（$ 335/8398 $）しかない場合です。これはかなり低いp値であり、ボックス内の見本市チケットが$ 11 $よりも少ない可能性が高いと結論付けることができます。確かに、あなたはそれらのうちの2つだけを見たことがあり、ボックスには$ 12 $のチケットしか残っていないので、それらの中には9つ未満のショーゴーイングチケットがあると確信できます。サンプルの4分の1だけにショーのチケットが含まれていることを考えると、それは合理的な結論です。